Lista de probleme 93

Al Bundy a plecat la serviciu, lăsându-i soţiei lui, Peg, cardul de cumpărături. PIN-ul este valoarea expresiei \(E\left ( n \right )=\sum_{k = 1}^{n}\left ( 2\cdot \left ( a^{2}+b^{2} \right )^{\frac{k}{2}}\cdot cos\left ( k\cdot \alpha \right ) \right ),\ \)unde \(\ \alpha =arctg\left ( \frac{a}{b} \right ) \), iar n, a, b sunt numere naturale nenule.

Un canadian deține o firmă cu n muncitori. Fiecare din aceștia lucrează la m case, codificate prin numere naturale. Canadianul dorește să afle:

1) numărul maxim de muncitori care lucrează la aceeași casă;
2) numărul maxim de case la care lucreaza simultan cel putin doi muncitori.

Se consideră o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente egale cu 0 sau 1. Să se calculeze determinantul matricei.

Se dă un număr n și n triplete de forma l, c, h, reprezentând lungimea egala a doi stâlpi, lungimea cablului dintre acestea și înălțimea la care atârnă cablul față de podea.

Se cere să se afle distanța dintre fiecare doi stâlpi.

Se dau n numere întregi, \( a_{1}, a_{2}, …, a_{n} \).

Calculați valoarea determinantului \( \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & … & 1 & 1\\
a_{1} & a_{2} & a_{3} & … & a_{n-1} & a_{n}\\
a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & a_{3}^{2} & … & a_{n-1}^{2} & a_{n}^{2}\\
… & … & … & … & … & …\\
a_{1}^{n-2} & a_{2}^{n-2} & a_{3}^{n-2} & … & a_{n-1}^{n-2} & a_{n}^{n-2}\\
a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & a_{3}^{n-1} & … & a_{n-1}^{n-1} & a_{n}^{n-1}
\end{vmatrix} \).

Într-o şcoală sunt F fete şi B băieţi. Pentru fiecare valoare a lui K de la 1 la F+B, aflaţi în câte moduri se poate alcătui o echipă formată din K elevi, care să conţină un număr impar de fete.

Nicușor, primarul capitalei, a fost invitat în seara zilei de 5 septembrie 2024 la jurnalul de seară al Digi 24. Acesta a fost provocat să rezolve o problemă “de clasa a patra” propusă de către o profesoară: “Care este cel mai mic număr natural nenul care are proprietatea că dacă mutăm ultima sa cifră în fața primei cifre, valoarea noului număr este egală cu dublul numărului inițial”. Cu alte cuvinte, acestuia i s-a cerut să găsească cel mai mic număr nenul de forma \(\overline{c_1 c_2 … c_n}\) cu proprietatea \(\overline{c_n c_1 c_2 … c_{n-1}} = 2 \times \overline{c_1 c_2 … c_n}\).

După ce a rezolvat problema, Nicușor a decis să o generalizeze, astfel propunând o variantă pentru clasa a cincea: Care este cel mai mic număr natural nenul, care, scris in baza b ca \(\overline{c_1 c_2 … c_n}_{(b)}\), are proprietatea că \(\overline{c_n c_1 c_2 … c_{n-1}}_{(b)} = a \times \overline{c_1 c_2 … c_n}_{(b)}\) unde 2 ≤ a < b.

Kida a descoperit un nou joc, prin care pornind de la un număr oarecare poate ajunge la alte numere prin niște pași simpli: dacă la un moment de timp, T, Kida are numărul W, atunci la momentul de timp T + 1 ea poate să ajungem la orice alt număr L dacă:

• L < W
• L este divizibil cu W - L
• W este divizibil cu W - L
• 2 * L ≥ W

Kida are o mulțime de N numere, notată cu D. Acum, ea își pune Q întrebări de tipul: Dacă aș porni la momentul de timp T = 0 și aș avea numărul x, care este momentul de timp minim la care aș putea sa ajung la un număr din mulțimea D folosind regulile jocului descris mai sus? Dacă nu se poate ajunge la niciun număr din mulțimea D, atunci Kida va considera că răspunsul este -1.

Numim suma cifrelor până la o cifră a unui număr X, o valoare mai mică decât 10 obținută prin adunarea cifrelor numărului X și repetarea procedurii dacă suma obținută este mai mare decât 10, de această dată având drept X suma obținută la pasul precedent.

Se dau două numere a și b. Calculați suma cifrelor pana la o cifra a lui \({a}^{b}\).

Vom considera un segment pe axa Ox care începe la poziția 0 și se termină la poziția L.
Se vor insera pe rând N puncte pe axă, iar după fiecare punct inserat se va afișa lungimea celui mai lung segment delimitat de două puncte (inclusiv 0 și L).