Lista de probleme 96

Se dau numerele naturale n, x, y, z, t. Se generează vectorul a astfel: a[i] = (a[i-1] * x + y) % z, pentru 1 ≤ i ≤ n si a[i] = 0 pentru i = 0. Determinați ∑(a[i] XOR a[j]), unde 1 ≤ i < j ≤ n, modulo t.

Funcționarea computerelor cuantice se bazează pe organizarea internă a particulelor elementare din cadrul hiperprocesorului hadronic conform legilor mecanicii cuantice. Pentru a crește viteza de procesare a unui astfel de sistem de calcul, trebuie determinată o dispunere specială a hadronilor în cadrul câmpului de influență al forței nucleare puternice care să asigure integritatea plasmei quark-gluon.

Cu ocazia intrării în sezonul 8 al competiției de robotică FTC, Trixie se decide să își ajute echipa și să curețe terenul pe care au loc sesiunile de antrenament ale echipei. Tema sezonului acesta implică un teren de dimensiuni nemaivăzute până acum, care poate fi reprezentat sub forma de matrice cu n linii și m coloane, matrice cu n * m tile-uri (bucăți de teren cu o formă asemănătoare unei piese de puzzle) pe care Trixie scrie n * m numere naturale notate t[i][j], câte unul pentru fiecare tile. De asemenea, este important să menționăm că terenul este prevăzut cu pereți laterali pe toate cele 4 laturi, astfel încât Trixie nu poate ieși din perimetrul terenului.

Pentru a începe curățenia, aceasta folosește o dronă de ultimă generație care plutește deasupra terenului și efectuează q scanări. O scanare este descrisă prin colțul stânga-sus de coordonate (is, js) și colțul dreapta-jos de coordonate (ij, jj). Din cauza unui defect, drona adaugă 1 la fiecare element din submatricea scanată.

ATENȚIE! Trixie poate să greșească și să aleagă colțul dreapta-jos în afara terenului. În acest caz, scanarea se aplică doar pe intersecția cu terenul:
i2 = min(ij, n), j2 = min(jj, m);
se adaugă 1 tuturor celulelor (i, j) cu is ≤ i ≤ i2 și js ≤ j ≤ j2;
dacă după tăiere rezultă un dreptunghi vid (adică is > i2 sau js > j2), scanarea nu are efect.

După ce toate scanările au fost aplicate, Trixie parcurge terenul și, pentru fiecare pereche de linii consecutive (i, i+1), cu 1 ≤ i ≤ n-1, procedează astfel: ia tile-urile alunecoase de pe linia i și tile-urile super-alunecoase de pe linia i+1, apoi înmulțește fiecare număr de pe tile-urile alunecoase cu fiecare număr de pe tile-urile super-alunecoase. Fiecare astfel de produs se numește nivel de alunecare și corespunde unui OMEGA-tile.

Un tile alunecos este definit ca un tile pe care este scris un număr prim. (Numerele 0 și 1 nu sunt prime.)

Un tile super-alunecos este definit ca un tile pe care este scris un număr aprim. Numim un număr aprim dacă acesta se poate scrie exact ca produsul a două numere prime distincte: x = p * q, unde p și q sunt prime și p ≠ q. (De exemplu 6=2*3 și 10=2*5 sunt aprime, dar 4=2*2 nu este aprim, iar 12=2*2*3 nu este aprim.)

Pentru o pereche de linii (i, i+1), notăm cu P mulțimea valorilor prime din linia i și cu S mulțimea valorilor aprime din linia i+1. Trixie formează toate OMEGA-tile-urile posibile, alegând orice p ∈ P și orice s ∈ S. Nivelul de alunecare este p * s.

Important: dacă există mai multe perechi (p, s) care dau același produs, acel produs apare de mai multe ori (se lucrează cu un multiset de produse).

Trixie își pune n - 1 întrebări (o întrebare pentru fiecare pereche de linii consecutive), de tipul:
„Care este nivelul de alunecare pentru al k-lea cel mai puțin alunecos OMEGA-tile?”
(adică al k-lea produs în ordine crescătoare).

Al Bundy a plecat la serviciu, lăsându-i soţiei lui, Peg, cardul de cumpărături. PIN-ul este valoarea expresiei \(E\left ( n \right )=\sum_{k = 1}^{n}\left ( 2\cdot \left ( a^{2}+b^{2} \right )^{\frac{k}{2}}\cdot cos\left ( k\cdot \alpha \right ) \right ),\ \)unde \(\ \alpha =arctg\left ( \frac{a}{b} \right ) \), iar n, a, b sunt numere naturale nenule.

Se consideră o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente egale cu 0 sau 1. Să se calculeze determinantul matricei.

Un canadian deține o firmă cu n muncitori. Fiecare din aceștia lucrează la m case, codificate prin numere naturale. Canadianul dorește să afle:

1) numărul maxim de muncitori care lucrează la aceeași casă;
2) numărul maxim de case la care lucreaza simultan cel putin doi muncitori.

Se dau n numere întregi, \( a_{1}, a_{2}, …, a_{n} \).

Calculați valoarea determinantului \( \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & … & 1 & 1\\
a_{1} & a_{2} & a_{3} & … & a_{n-1} & a_{n}\\
a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & a_{3}^{2} & … & a_{n-1}^{2} & a_{n}^{2}\\
… & … & … & … & … & …\\
a_{1}^{n-2} & a_{2}^{n-2} & a_{3}^{n-2} & … & a_{n-1}^{n-2} & a_{n}^{n-2}\\
a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & a_{3}^{n-1} & … & a_{n-1}^{n-1} & a_{n}^{n-1}
\end{vmatrix} \).

Într-o şcoală sunt F fete şi B băieţi. Pentru fiecare valoare a lui K de la 1 la F+B, aflaţi în câte moduri se poate alcătui o echipă formată din K elevi, care să conţină un număr impar de fete.

Nicușor, primarul capitalei, a fost invitat în seara zilei de 5 septembrie 2024 la jurnalul de seară al Digi 24. Acesta a fost provocat să rezolve o problemă “de clasa a patra” propusă de către o profesoară: “Care este cel mai mic număr natural nenul care are proprietatea că dacă mutăm ultima sa cifră în fața primei cifre, valoarea noului număr este egală cu dublul numărului inițial”. Cu alte cuvinte, acestuia i s-a cerut să găsească cel mai mic număr nenul de forma \(\overline{c_1 c_2 … c_n}\) cu proprietatea \(\overline{c_n c_1 c_2 … c_{n-1}} = 2 \times \overline{c_1 c_2 … c_n}\).

După ce a rezolvat problema, Nicușor a decis să o generalizeze, astfel propunând o variantă pentru clasa a cincea: Care este cel mai mic număr natural nenul, care, scris in baza b ca \(\overline{c_1 c_2 … c_n}_{(b)}\), are proprietatea că \(\overline{c_n c_1 c_2 … c_{n-1}}_{(b)} = a \times \overline{c_1 c_2 … c_n}_{(b)}\) unde 2 ≤ a < b.

Se dă un număr n și n triplete de forma l, c, h, reprezentând lungimea egala a doi stâlpi, lungimea cablului dintre acestea și înălțimea la care atârnă cablul față de podea.

Se cere să se afle distanța dintre fiecare doi stâlpi.