Lista de probleme 19

Considerăm un număr natural X , cu cel puțin două cifre, toate diferite de 0 și un șir de N numere naturale, primul număr din șir fiind considerat pe poziția 1, al doilea pe poziția 2, al treilea pe poziția 3 ș.a.m.d.

Cerințe:

1. Determinați cel mai mare număr care se poate forma utilizând cifra unităților și cifra zecilor lui X.
2. Determinați poziția primei apariții a lui X în șirul celor N numere.
3. Determinați penultima și ultima poziție pe care apare X în șirul celor N numere.
4. Determinați numărul obținut prin inversarea ordinii de apariție a cifrelor impare din numărul X, fără a modifica pozițiile cifrelor pare. De exemplu, dacă X = 154372, se va obține numărul 734512.

Pe marginea unui lac liniștit, broscuțele se adună pentru a participa la concursul celor mai deosebite voci de pe
lac. Una câte una, scot câte un sunet „OAC”.

Trei broscuțe codificate cu A, B și C se urcă împreună pe scena din fața juriului care va realiza selecția pentru corul broscuțelor. În momentul în care juriul pornește cronometrul și dă startul probei, ele încep să cânte astfel:

• broscuța A cântă „OAC” din K1 în K1 secunde;
• broscuța B cântă „OAC” din K2 în K2 secunde;
• broscuța C cântă „OAC” din K3 în K3 secunde;

Știind că proba durează T secunde, iar juriul este impresionat de dueturile formate din exact două „OAC” -uri cântate în același timp, ajutați juriul să realizeze cea mai bună selecție pentru cor.

Cerințe

1. Determinați cel mai mare număr de „OAC” -uri cântat de o broscuță în cele T secunde.
2. După câte secunde juriul va auzi primul „OAC” cântat de un duet?
3. De câte ori se cântă „OAC” în duet în cele T secunde (de oricare două dintre cele trei broscuțe)?

Se consideră un număr natural N și un șir A=(a[1], a[2], a[3], ..., a[N]) format din N numere naturale nenule. Definim S(i,j) ca fiind egal cu suma a[i] + a[i+1] + a[i+2] + ... + a[j], unde 1 ≤ i ≤ j ≤ N. Se cunosc numărul N și șirul A. Scrieți un program care să determine răspunsurile pentru următoarele trei întrebări:
1. Există o poziție i (1 ≤ i < N) cu proprietatea că S(1, i) = S(i+1, N)?
2. Există o poziție i (1 < i < N) cu proprietatea că S(1,i-1) = S(i+1,N)?
3. Există două poziții i și j (1 < i și i+1 < j < N) cu proprietatea că S(1,i-1) = S(i+1,j-1) = S(j+1,N)?

Collatz are 𝑇 vectori, fiecare vector 𝑖 (1 ≤ i ≤ T) fiind format inițial din numerele naturale consecutive de la Si la Di. După părerea lui, un vector îngrijit are toate elementele egale cu 1. Deoarece lui Collatz îi plac vectorii îngrijiți, el își dorește ca toate elementele vectorilor să devină 1, așa că transformă pe rând vectorii, aplicând pentru fiecare un număr minim de operații. O operație constă din alegerea unui element al vectorului și apoi:

• dacă elementul este par, atunci valoarea lui se înjumătățește;
• dacă elementul este impar, având inițial valoarea x, atunci valoarea lui devine 2 • 𝑥 + 2.

Pentru fiecare dintre cei T vectori, determinați numărul minim de operații prin care poate deveni îngrijit.

În grădina palatului de vară, maestrul grădinar Andrei caută locul perfect pentru amplasarea unui bonsai prezidențial. Grădina palatului este formată din mai multe parcele, dispuse pe N linii și M coloane. Deoarece grădina palatului este frecventată de turiști, fiecărei parcele îi este asociat un număr natural, reprezentând importanța parcelei respective.

Bonsaiul prezidențial poate fi plantat doar sub forma unei cruci simetrice (un centru și 4 brațe egale pe direcțiile Nord, Sud, Est, Vest), care nu conține valori nule (parcele cu importanța 0) și are număr maxim de parcele pe care se poate amplasa un bonsai. Un bonsai este definit de centrul său (i, j) și de raza maximă posibilă R, cu care se poate extinde pe toate cele 4 direcții (numărul de parcele al unui braț, fără a număra centrul). Un bonsai cu R=0 ocupă o singură parcelă (centrul), iar un bonsai cu R=1 ocupă centrul și cei 4 vecini: (i - 1, j), (i + 1, j), (i, j - 1), (i, j + 1). Andrei are trei criterii diferite de alegere, în funcție de cerința președintelui:

• Criteriul simplitate: Președintele își dorește un bonsai simplu de rază R = 0, astfel Andrei trebuie să caute toate locurile posibile în care se poate amplasa un bonsai de rază R = 0.
• Criteriul măreție: Președintele își dorește cel mai extins bonsai posibil, astfel Andrei este nevoit să caute raza maximă Rmax pe care o poate avea un bonsai în grădină.
• Criteriul vizibilitate: Președintele își dorește cea mai mare vizibilitate turistică pentru bonsaiul său, astfel Andrei este nevoit să caute locul în care, dacă ar planta bonsaiul, acesta ar avea importanță maximă. Importanța unui loc în care bonsaiul poate fi plantat este reprezentată de suma importanței parcelelor pe care le acoperă.

Cerința

Se dau C, reprezentând cerința care trebuie rezolvată (C = 1, C = 2 sau C = 3), N, M, dimensiunile grădinii și N x M valori naturale, reprezentând importanța fiecărei parcele.

• Dacă C = 1, ajutați-l pe Andrei să determine în câte locuri posibile din grădină ar putea planta un bonsai de rază R = 0.
• Dacă C = 2, ajutați-l pe Andrei să determine raza maximă Rmax a unui bonsai care poate fi plantat în grădină.
• Dacă C = 3, ajutați-l pe Andrei să determine locul cu importanța maximă în care poate planta bonsaiul, precum și coordonatele (i, j) ale centrului acestuia. Dacă există mai multe locuri cu aceeași importanță maximă, se va alege cel cu raza R cea mai mare. Dacă există mai multe astfel de locuri cu importanța egală și cu aceeași rază R, se va alege locul cu i minim, iar în caz de egalitate, cel cu j minim.

În Imperiul Rațelor de Cauciuc, toate datele importante au fost migrate pe un server central. Mugurel, proaspăt numit Șef al Securității Cibernetice, are ca sarcină monitorizarea rețelei împotriva atacurilor informatice. Traficul de pe server este înregistrat sub forma unui șir a de N adrese IP de la care au fost efectuate cereri. Fiecare adresă IP din șir este reprezentată simplificat printr-un singur număr natural ai (1 ≤ i ≤ N), și două adrese IP diferite sunt reprezentate prin numere diferite. Pentru a detecta anomalii, Mugurel analizează mai multe ferestre de trafic. Ajutați-l pe Mugurel să determine, în funcție de o valoare C, numărul de ferestre suspecte (dacă C = 1) sau numărul de ferestre legitime (dacă C = 2) care există în șirul de cereri.

Poștașul Algorel are de livrat colete la n case de pe Strada Progresiilor, la numerele cunoscute a1, a2, …, an. El are
un algoritm propriu de vizitare a unor case de pe stradă, chiar dacă nu are pachete pentru toate acestea. La început Algorel alege un număr x, vizitează casa cu numarul 1, iar apoi fiecare casă vizitată se află la un număr mai mare cu x decât numărul celei vizitate anterior. Casele cu toate celelalte numere rămân nevizitate. Pentru că vrea să fie cât mai eficient, Algorel vrea să aleagă un număr natural x cât mai mare care să permită vizitarea tuturor caselor la care are de livrat colete. Determinați cea mai mare valoare x astfel încât între casele vizitate de Algorel cu numerele 1, 𝑥+1, 2·𝑥+1, 3·𝑥+1, … să se regăsească toate cele n case la care are de livrat colete.

17 mai 1989 ora 23:46 poate fi scris 17/05/89 23:46, iar prin eliminarea caracterelor speciale se obține numărul 1705892346, de forma zzllaahhmm, care este un număr natural cu proprietatea că fiecare cifră de la 0 la 9 este utilizată exact o dată în scrierea acestui număr.
Se cunoaște numărul natural N. Scrieți un program care să determine răspunsul pentru următoarele cerințe:
1. Știind că numărul N are exact 10 cifre, să se verifice dacă acest număr are proprietatea că fiecare cifră apare exact o dată;
2. Știind că numărul N are exact 4 cifre și reprezintă un an calendaristic, să se determine de câte ori apare proprietatea enunțată mai sus pentru anul respectiv.

Anul acesta școala Algocoin a organizat un concurs la care au participat N elevi. Pentru fiecare elev cunoaștem punctajul obținut la concurs. Directorul școlii a decis să-i recompenseze pe elevi prin acordarea unui număr de monede virtuale care pot fi folosite pentru a achiziționa produse de la magazinul școlii. Cunoscând numărul de elevi N , valorile K și P, precum și punctajul obținut de fiecare elev la concurs, scrieți un program care să rezolve următoarele cerințe:
1. afișează, în ordine crescătoare, numărul de monede primite de fiecare elev;
2. determină numărul total de perechi de elevi care s-ar putea forma pentru a putea cumpăra un produs din magazin;
3. determină prețul X (multiplu de K) al celui mai scump produs pentru care există cel puțin P perechi distincte de elevi, astfel încât orice elev să poată apărea în cel mult o pereche, iar suma monedelor celor doi elevi din fiecare pereche să fie strict mai mare decât X.

Mario și Wario participă la o cursă alergând unul lângă celălalt. Amândoi sar deodată peste exact același număr de obstacole.

• Înălțimile săriturilor lui Mario sunt date ca un șir de N numere naturale.
• Înălțimile săriturilor lui Wario sunt date ca un alt șir de N numere naturale.

Se dau C, reprezentând cerința care trebuie rezolvată (C = 1, C = 2 sau C = 3), N, numărul de sărituri, 𝐾 și cele două șiruri de N valori naturale, cu semnificația din enunț.