Lista de probleme 3

După o noapte furtunoasă, Gigel pleacă din crâșma satului, poziționată în punctul de coordonate (0, 0) și efectuează în ordine o succesiune alternativă de translații și rotații: tr1, rot1, tr2, rot2 …, trN, rotN în urma cărora ajunge la el acasă, în punctul de coordonate (a, b).

1. Date fiind N, șirul de translații tr1, tr2, …, trN, precum și șirul de rotații rot1, rot2 …, rotN, să se determine coordonatele casei lui Gigel (a, b).
2. Date fiind N, șirul de translații tr1, tr2, …, trN, precum și coordonatele casei lui Gigel (a, b), să se determine dacă există un șir de rotații rot1, rot2 …, rotN astfel încât în urma efectuării succesiunii de translații și rotații Gigel să ajungă la el acasă.
3. Date fiind N, șirul de translații tr1, tr2, …, trN, precum și coordonatele casei lui Gigel (a, b), să se determine un șir de rotații rot1, rot2 …, rotN astfel încât în urma efectuării succesiunii de translații și rotații Gigel să ajungă la el acasă.

Se dă un arbore cu N noduri numerotate de la 1 la N, înrădăcinat în nodul 1. O mutare de cal dintr-un nod u către un nod v constă în parcurgerea unui traseu u → x → y → v, unde x este părintele lui u, y este părintele lui v, iar v este un fiu al lui y astfel încât v ≠ x. Observăm cum mutarea se aseamănă unei mutări de cal pe tabla de șah.

Date fiind N și părinții fiecărui nod P2, . . . , Pn (nodul 1, fiind rădăcina, nu are părinte), să se determine:

1. Numărul de noduri cu exact un fiu.

Date fiind, în plus, Q perechi de noduri, să se determine pentru fiecare pereche dată (a, b):

2. Dacă se poate ajunge din nodul a în nodul b făcând succesiv mutări de cal. În caz afirmativ, răspunsul va fi 1, altfel 0.
3. Numărul de trasee distincte ce pornesc din nodul a și ajung în nodul b făcând succesiv mutări de cal. Deoarece răspunsul poate fi destul de mare, se cere restul împărțirii acestuia la 109 + 7.

Se organizează cel mai grandios eveniment în aer liber pentru șoferi: Drive-in cinema cu o parcare imensă matriceală pentru mașini, cu patru ecrane imense la nord, sud, est și vest. Același film este proiectat în toate cele patru direcții. Altfel spus, ai la dispoziție 360° de film, deci, oricum ai parca, vei putea viziona filmul fără probleme consumând Tortilla chips cu gust de brânză și Coca-Cola.

Mașinile sosesc în parcare una după alta, având loc și timp suficient să efectueze manevre sigure de parcare. Însă, la finalul evenimentului, toate mașinile vor dori să plece cât mai repede. De aceea, este nevoie de o strategie prin care mașinile să părăsească parcarea în linie dreaptă (fără viraje), păstrând direcția în care erau așezate în timpul filmului, fără să se ciocnească cu alte mașini. Parcarea fiind într-o zonă deschisă, se poate ieși pe oriunde. Altfel spus: tot perimetrul matricei este ieșire. Organizatorii vă roagă să dați o mână de ajutor cu o strategie prin care să eliberați mașinile din parcare una câte una, precizând de fiecare dată coordonatele (linia și coloana) următoarei mașini care pleacă.

Cunoscând dimensiunile parcării N, M și direcția fiecărei mașini, se cere un plan de eliberare a tuturor mașinilor.