Lista de probleme 3

Collatz are 𝑇 vectori, fiecare vector 𝑖 (1 ≤ i ≤ T) fiind format inițial din numerele naturale consecutive de la Si la Di. După părerea lui, un vector îngrijit are toate elementele egale cu 1. Deoarece lui Collatz îi plac vectorii îngrijiți, el își dorește ca toate elementele vectorilor să devină 1, așa că transformă pe rând vectorii, aplicând pentru fiecare un număr minim de operații. O operație constă din alegerea unui element al vectorului și apoi:

• dacă elementul este par, atunci valoarea lui se înjumătățește;
• dacă elementul este impar, având inițial valoarea x, atunci valoarea lui devine 2 • 𝑥 + 2.

Pentru fiecare dintre cei T vectori, determinați numărul minim de operații prin care poate deveni îngrijit.

În Imperiul Rațelor de Cauciuc, toate datele importante au fost migrate pe un server central. Mugurel, proaspăt numit Șef al Securității Cibernetice, are ca sarcină monitorizarea rețelei împotriva atacurilor informatice. Traficul de pe server este înregistrat sub forma unui șir a de N adrese IP de la care au fost efectuate cereri. Fiecare adresă IP din șir este reprezentată simplificat printr-un singur număr natural ai (1 ≤ i ≤ N), și două adrese IP diferite sunt reprezentate prin numere diferite. Pentru a detecta anomalii, Mugurel analizează mai multe ferestre de trafic. Ajutați-l pe Mugurel să determine, în funcție de o valoare C, numărul de ferestre suspecte (dacă C = 1) sau numărul de ferestre legitime (dacă C = 2) care există în șirul de cereri.

Poștașul Algorel are de livrat colete la n case de pe Strada Progresiilor, la numerele cunoscute a1, a2, …, an. El are
un algoritm propriu de vizitare a unor case de pe stradă, chiar dacă nu are pachete pentru toate acestea. La început Algorel alege un număr x, vizitează casa cu numarul 1, iar apoi fiecare casă vizitată se află la un număr mai mare cu x decât numărul celei vizitate anterior. Casele cu toate celelalte numere rămân nevizitate. Pentru că vrea să fie cât mai eficient, Algorel vrea să aleagă un număr natural x cât mai mare care să permită vizitarea tuturor caselor la care are de livrat colete. Determinați cea mai mare valoare x astfel încât între casele vizitate de Algorel cu numerele 1, 𝑥+1, 2·𝑥+1, 3·𝑥+1, … să se regăsească toate cele n case la care are de livrat colete.