Lista de probleme 18

Se consideră şirul crescător 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ..., în care fiecare număr natural nenul i apare de 2i-1 ori. Elementele unei matrice A cu M linii şi N coloane au valori astfel încât, parcurgând matricea de sus în jos, pe linii, și de la stânga la dreapta pe fiecare linie, se obțin primii M x N termeni ai șirului precizat. O submatrice a lui A este definită de patru valori, l1, c1, l2, c2 şi este formată din elementele Ai,j cu proprietatea că l1 ≤ i ≤ l2 și c1 ≤ j ≤ c2. Determinaţi suma elementelor pentru fiecare dintre Q submatrice date ale lui A.

Lordul John a decis că a venit vremea să însămânțeze terenul său. Terenul a fost împărțit în parcele organizate în N linii, pe fiecare linie fiind câte N parcele pătrate, fiecare cu suprafața de un metru pătrat. Liniile au fost numerotate de sus în jos de la 1 la N, iar coloanele de la stânga la dreapta de la 1 la N. Fiind un aviator pasionat, a folosit avionul său pentru a survola terenul în vederea însămânțării. La final, după însămânțare, Lordul John dorește să împrejmuiască cu gard parcelele însămânțate, pentru a le separa de cele rămase neînsămânțate sau de marginea terenului.
1. Determinați numărul semințelor care sunt aruncate.
2. Determinați numărul de parcele care sunt însămânțate.
3. Determinați lungimea gardului care trebuie să separe suprafețele însămânțate de cele neînsămânțate sau de marginea terenului.

Elevii celor două clase de a șaptea din școală merg în excursie. În fiecare clasă sunt câte N elevi. Ovidiu și Mihnea, fiind liderii celor două clase din care fac parte, doresc să analizeze reușita excursiei, în funcție de gradul de compatibilitate dintre elevii participanți la excursie. Pentru a determina acest grad, fiecărui elev din cele două clase îi este atribuit un coeficient de amabilitate.
1. Determinați gradul de compatibilitate dintre cele două clase.
2. Determinați, pentru fiecare elev din clasa lui Ovidiu, numărul de elevi din clasa lui Mihnea cu care acesta poate lega o prietenie durabilă.

O operaţie de reducere aplicată asupra unui șir constă în selectarea unui număr prim p şi a unor elemente din șirul dat care sunt divizibile cu p şi împărţirea acestora la p. Asupra unui șir format din n numere naturale nenule se aplică o succesiune de operaţii de reducere, până când toate elementele șirului devin egale. Valoarea finală a elementelor șirului este denumită valoare de egalitate. Valoarea de reducere a unui șir este cea mai mare dintre valorile de egalitate care se pot obţine în urma aplicării unor operaţii de reducere asupra acestui șir.
1) Determinați valoarea de reducere pentru un șir dat.
2) Determinați numărul minim de operaţii de reducere care trebuie să fie aplicate șirului dat pentru a obţine valoarea de reducere.

Jocul preferat al lui Aurel are o hartă împărțită în N sectoare, numerotate, în ordine, de la 1 la N. Fiecare sector i (1 ≤ i ≤ N) are asociate două numere naturale reprezentând un decor, decori și un scor, scori. Două decoruri de același tip sunt codificate prin același număr natural.
1) Determinați numărul de moduri în care Aurel poate începe jocul, astfel încât prima secvență pe care o “vede” pe hartă să NU fie riscantă. Două moduri de a începe jocul sunt considerate diferite dacă încep pe sectoare diferite sau dacă au vizibilitatea diferită.
2) Determinați scorul obținut dacă Aurel pornește din sectorul 1 cu vizibilitatea 0.

Se dă un număr natural N și apoi N numere naturale, toate având același număr de cifre.
1) Determinați câte dintre cele N numere sunt palindrom.
2) Determinați câte dintre cele N numere pot deveni palindrom prin inserarea în acestea a câte unei cifre.
3) Determinați câte dintre cele N numere pot deveni palindrom prin inserarea în acestea a câte două cifre.

Un dispozitiv de tip semafor are trei culori, roșu, galben și verde, și funcționează ciclic, astfel încât, în fiecare moment, să fie aprinsă o singură culoare. Într-o serie, culorile se succed întotdeauna în ordinea următoare: roșu, galben, verde, galben. Astfel, la pornire se aprinde roșu, iar după ce se stinge această culoare se aprinde galben, apoi verde și apoi, din nou, galben, apoi seria culorilor se reia ciclic, în succesiunea precizată.
1) Știind că în acest moment la niciunul dintre semafoare nu este aprins verde, determinați numărul minim de secunde care trebuie să treacă, din acest moment, până când se aprinde verde la cel puțin unul dintre ele.
2) Determinați numărul minim de secunde care trebuie să treacă, din acest moment, până când ambele semafoare au aprinsă aceeași culoare.

Prințul Mugurel trebuie să organizeze un nou spectacol pentru locuitorii din Imperiul Rațelor de Cauciuc. De data aceasta s-a gândit la ceva inedit: o cursă de natație pe Râul Macilor. Mugurel a adunat cele mai bune N raţe din imperiu, numerotate de la 1 la N, fiecare rață fiind caracterizată prin viteză şi nivel de rezistenţă. Pe Râul Macilor s-au amenajat M culoare de înot, numerotate de la 1 la M; pe fiecare culoar este câte o baliză, situată la o anumită distanță (în metri) față de linia de start, iar această distanță este strict mai mare decât distanța balizei de pe culoarul anterior. Mugurel alege M rațe dintre cele N, care sunt așezate adecvat la linia de start, fiecare pe câte un culoar de înot. Apoi, toate aceste rațe alese pornesc simultan, fiecare rață înoată pe culoarul ei, până la baliza corespunzătoare, și se întoarce înapoi la linia de start, pe același culoar. Durata cursei se măsoară de la pornirea simultană a rațelor, până la momentul când toate rațele ajung înapoi la linia de start. Determinați durata minimă pe care o poate avea cursa.

Se consideră șirul A=(A[1], A[2],..., A[n]) cu n numere naturale nenule. Pe baza șirului A se construiește șirul B, unde fiecare element B[i] este cel mai mic număr natural care are aceiași factori primi cu A[i], cu 1 ≤ i ≤ n. O secvență de cel puțin două numere aflate pe poziții consecutive în șirul B este mandatorie dacă există un număr x (2 ≤ x ≤ 9) în această secvență care divide fiecare dintre elementele secvenței. Numim acest număr x - mandatar al secvenței. Lungimea secvenței este egală cu numărul de elemente ale acesteia.
1) Determinați cel mai mare număr prim din șirul A.
2) Determinați cel mai mare număr al șirului B ce are un număr maxim de factori primi.
3) Determinați lungimea maximă a unei secvențe mandatorii din șirul B.

Avionul cu care am zburat ultima dată are o organizare foarte simplă. Pe fiecare rând sunt 6 scaune, câte 3 pe fiecare parte, având la mijloc culoarul pe care intră și ies pasagerii. Rândurile de scaune pentru pasageri sunt numerotate de la 1 la NR, începând dinspre cabina piloților avionului. Pe fiecare rând, scaunele sunt numerotate cu cifre de la 1 la 6. Urcarea în avion se face pe una dintre cele două scări: scara 1, situată în partea din față a avionului, și scara 2, situată în partea din spate a acestuia.
1) Determinați pentru fiecare dintre cei n pasageri, scara pe care trebuie să urce în avion, astfel încât distanța parcursă de el până la locul său să fie minimă.
2) Determinați distanța totală minimă parcursă de pasageri în avion. Distanța totală parcursă este egală cu suma distanțelor minime parcurse de cei n pasageri până la locuurile lor.