Lista de probleme 4

Se consideră un număr natural N și un șir A=(a[1], a[2], a[3], ..., a[N]) format din N numere naturale nenule. Definim S(i,j) ca fiind egal cu suma a[i] + a[i+1] + a[i+2] + ... + a[j], unde 1 ≤ i ≤ j ≤ N. Se cunosc numărul N și șirul A. Scrieți un program care să determine răspunsurile pentru următoarele trei întrebări:
1. Există o poziție i (1 ≤ i < N) cu proprietatea că S(1, i) = S(i+1, N)?
2. Există o poziție i (1 < i < N) cu proprietatea că S(1,i-1) = S(i+1,N)?
3. Există două poziții i și j (1 < i și i+1 < j < N) cu proprietatea că S(1,i-1) = S(i+1,j-1) = S(j+1,N)?

17 mai 1989 ora 23:46 poate fi scris 17/05/89 23:46, iar prin eliminarea caracterelor speciale se obține numărul 1705892346, de forma zzllaahhmm, care este un număr natural cu proprietatea că fiecare cifră de la 0 la 9 este utilizată exact o dată în scrierea acestui număr.
Se cunoaște numărul natural N. Scrieți un program care să determine răspunsul pentru următoarele cerințe:
1. Știind că numărul N are exact 10 cifre, să se verifice dacă acest număr are proprietatea că fiecare cifră apare exact o dată;
2. Știind că numărul N are exact 4 cifre și reprezintă un an calendaristic, să se determine de câte ori apare proprietatea enunțată mai sus pentru anul respectiv.

Burebista tocmai a primit printre oștenii săi daci și pe aliații săi, bastarnii. Cu toții s-au aliniat într-un șir lung în fața regelui, dacii fiind etichetați cu 1, iar bastarnii cu 2. Dacă răspundeți corect la două cerințe, marele rege Burebista vă va primi în oastea sa invincibilă:
1. Câți oșteni daci se află în șir? Mai simplu spus, câte valori de 1 se află în șir?
2. Care este lungimea maximă a unei secvențe de oșteni formată fie din daci, fie din bastarni? Deci aflați lungimea maximă a unei secvențe din șir formată doar din valori de 1, sau doar din valori de 2.

Deceneu știa matematică, așa că vă arată un număr natural n. Trebuie să răspundeți la două întrebări simple și primiți o vizită la peștera sacră a dacilor, Kogaionon:
1. Care este prima cifră a lui n?
2. Cu câte zerouri se termină numărul n!, unde prin n! se înțelege produsul 1*2*3*...*n