Lista de probleme 2

În regatul „Iluminia” există un laborator care conține o rețea de N camere, fiecare cameră are lungimea P și este reprezentată de o secvență de comutatoare, fiecare comutator având starea 0 (stins) sau 1 (aprins).

Regele dorește să construiască o cameră supremă pentru un experiment de mare anvergură. Această cameră supremă se obține prin aplicarea operației XOR (^) asupra tuturor secvențelor de comutatoare. Regele vrea ca această cameră rezultată să fie „supremă”, adică să conțină doar comutatoare în starea 1.

Deoarece acest lucru nu este garantat, regele are la dispoziție M operații de flip. Fiecare flip inversează starea anumitor comutatoare dintr-o subsecență de lungime cel mult L (0 devine 1, iar 1 devine 0). Comutatoarele care vor fi inversate sunt la discreția regelui.

Acest lucru înseamnă că regele are posibilitatea de a alege, dintr-o subsecență dată de comutatoare, care dintre acestea să fie inversate. El nu este obligat să inverseze toate comutatoarele din subsecența aleasă, ci poate alege doar anumite comutatoare, în funcție de cum consideră că este cel mai eficient pentru găsirea camerei supreme.

Sarcina ta este să găsești cea mai mică valoare L pentru care există o succesiune de cel mult M flip-uri (fiecare aplicată pe o subsecență de lungime cel mult L) care să construiască camera supremă.

Fermierul Ion, cândva cunoscut pentru porumbul său de înaltă calitate, a intrat în faliment. Acum, el se mulțumește să crească roșii pe un câmp pătratic împărțit în N × N parcele. La început, câmpul era gol, dar de-a lungul timpului, Ion a efectuat mai multe plantări respectând o regulă specială, numită formula roșiilor gustoase:

• se alege un număr v;
• se alege o porțiune a câmpului definită de colțul stânga-sus (a, b) și colțul dreapta-jos (c, d. Cu alte cuvinte, pentru orice 1 ≤ i, j ≤ N, porțiunea câmpului conține parcela de pe linia i și coloana j dacă a ≤ i ≤ c și b ≤ j ≤ d.
• în fiecare parcelă din porțiune se plantează un număr de roșii egal cu suma modulo 1789 a numerelor mai mici decât v care sunt coprime cu v.