Lista de probleme 23

Despre o permutare vom spune că este de tip munte, dacă printre cele N elemente ale sale există un element de indice M astfel încât 1 < M < N, secvența formată din primele M elemente este strict crescătoare, iar secvența formată din ultimele N–M+1 elemente este strict descrescătoare. Adică, folosind notația matematică, avem a[1] < a[2] < ... < a[M - 1] < a[M] > a[M+1] > ... > a[N]. Un exemplu de munte cu 6 elemente poate fi următorul șir: [1, 2, 4, 5, 6, 3]. Să se precizeze dacă pentru permutarea dată aplicând oricâte operații de swap sau dswap se poate obține o permutare de tip munte. Plecând de la permutarea dată, câte permutări de tip munte distincte se pot obține aplicând oricâte operații de swap sau dswap?

Dorel are o sumă de bani G și are la dispoziție N proiecte numerotate de la 1 la N în care poate să investească bani. Pentru fiecare proiect se cunoaște valoarea a[i] reprezentând câți bani dorește el să investească în proiectul i. Schema de investiție a lui Dorel funcționează în felul următor: el analizează proiectele pe rând, iar când se află la un proiect i, dacă are suficienți bani (adică dacă suma de bani de care dispune este mai mare sau egală decât a[i]), atunci el va investi bani în acel proiect (iar din suma de bani de care dispune se scade a[i]). Altfel, el nu va investi niciun ban și va analiza următorul proiect. Să se afle care este suma maximă de bani cu care poate să rămână Dorel după ce își reordonează strategic proiectele și aplică algoritmul său.

Cu ajutorul tău, Badinho a primit subvenția de la stat, iar construcția rutei a fost finalizată în timp record. Datorită succesului, acesta a decis sa își deschidă o nouă afacere în Ciudad de México. Pe plaiurile deținute de primăria orașului crește o specie rară de cactus, care la maturitate va da roade fructe pitahaya, cunoscute și sub denumirea de “dragon fruits”.
Câte planuri de recoltare în care se survolează un număr minim de cactuși există? Deoarece acest număr poate fi foarte mare, se cere doar valoarea sa modulo 1.000.000.007.